المعادلة z² - (3+i)z + (2+3i) = 0 ومعلم متعامد ممنظم

التمرين 3 — معادلة عقدية وهندسة

في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O, $\vec{u}$, $\vec{v}$)، نربط بكل نقطة M لحقها z.

الجزء A — حل معادلة

1. حل في $\mathbb{C}$ المعادلة: $z^2-(3+i)z+(2+3i)=0$.
   ابحث عن الجذور على الشكل الجبري $z=a+bi$ حيث $(a,b)\in {\mathbb{R}}^2$.

الجزء B — دراسة هندسية

نضع $z_1=2+i$ و $z_2=1+2i$ و $z_3=1+i\sqrt{3}$.

2. احسب $|z_1|$ و $|z_2|$ و $|z_3|$. ماذا يمكن أن نقول عن النقط A و B و C التي ألحاقها على التوالي $z_1$ و $z_2$ و $z_3$ بالنسبة للأصل O؟
3. احسب العدد العقدي $w=\frac{z_3-z_1}{z_2-z_1}$. استنتج طبيعة المثلث ABC.