قوى الأعداد العقدية، متتالية هندسية ومحل هندسي

التمرين 6 — المتتالية، القوى والمحل الهندسي

نضع $z_0=1+i$ ونعرف المتتالية $(z_n)$ بالعلاقة التراجعية التالية:

$z_{n+1}=(1+i)\cdot z_n$ لكل عدد صحيح طبيعي $n$.

1. بين أن $z_n=(1+i{)}^n$ لكل عدد صحيح طبيعي $n$.
2. اكتب $1+i$ على الشكل الأسي. استنتج تعبيرا لـ $z_n$ على الشكل الأسي.
3. احسب $|z_n|$ و $\arg (z_n)$ لكل عدد صحيح $n$. بين أن $|z_n|=2^{n/2}$.
4. حدد مجموعة الأعداد الصحيحة $n\ge 1$ التي يكون من أجلها $z_n$ عددا حقيقيا صرفا (أي $\text{Re}(z_n)=0$ و $\text{Im}(z_n)\ne 0$) أو عددا حقيقيا غير منعدم.
5. نرمز بـ $M_n$ إلى النقطة ذات اللحق $z_n$ في المستوى العقدي.
   أ. احسب المسافة $O{M}_n$ لكل عدد صحيح $n$.
   ب. بين أن الزاوية الموجهة $(O{M}_n,O{M}_{n+1})$ ثابتة وتساوي $\frac{\pi }{4}$.
   ج. استنتج طبيعة المنحنى الذي تقع عليه جميع النقط $M_n$ (سنتحدث عن حلزون لوغاريتمي).
6. احسب المجموع $S_n=z_0+z_1+\cdots +z_n$ بدلالة $n$. أعط الشكل الجبري لـ $S_3$.