تحويل هندسي معرف بعدد عقدي

التمرين 5 — تحويلات المستوى والأعداد العقدية

المستوى منسوب إلى معلم متعامد ممنظم ومباشر (O, u⃗, v⃗). نربط بكل نقطة M لحقها $z\in \mathbb{C}$، النقطة M' لحقها $z^{\prime }$ المعرف بما يلي:

$z^{\prime }=(1+i\sqrt{3})\cdot z+2-2i\sqrt{3}$

نرمز بـ f للتحويل في المستوى المعرف بهذه الطريقة.

1. اكتب $1+i\sqrt{3}$ على الشكل الأسي. استنتج معيار وعمدة هذا العدد العقدي.
2. بين أن f تشابه مباشر. حدد نسبته k وزاويته $\alpha$.
3. حدد لحق النقطة الصامدة $\Omega$ للتحويل f (أي النقطة التي تحقق $f(\Omega )=\Omega$).
4. نعتبر النقطة A ذات اللحق $z_A=1$ والنقطة B ذات اللحق $z_B=-1$.
   أ. احسب لحقي الصورتين A' و B' للنقطتين A و B بواسطة f.
   ب. احسب المسافات $O{A}^{\prime }$، $O{B}^{\prime }$ و $A^{\prime }{B}^{\prime }$.
   ج. تحقق أن $A^{\prime }{B}^{\prime }=k\times AB$.
5. بين أن النقط A، B، A'، B' تنتمي إلى نفس الدائرة. حدد مركز وشعاع هذه الدائرة.