تحويلات المستوى العقدي، الجذور والمحل الهندسي

التمرين 3 — التحويلات، الجذور والمحل الهندسي

المستوى العقدي مزود بمعلم متعامد ممنظم مباشر (O, $\vec{u}$, $\vec{v}$). لكل نقطة M لحقها $z\ne i$، نربط النقطة M' التي لحقها $z^{\prime }$ المعرفة بما يلي:

$z^{\prime }=\frac{z+1}{z-i}$

الجزء 1 — دراسة جبرية للتحويل

1. بين أنه إذا كان $z^{\prime }=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$)، فإن بوضع $z=x+yi$ :

$a=\frac{x^2+y^2-y+x}{x^2+(y-1{)}^2}$    و    $b=\frac{x-y+1-x^2-y^2+y}{x^2+(y-1{)}^2}$

(يمكن قبول هذه التعابير إذا كان الحساب الجبري طويلاً جداً، ولكن يجب الإشارة إلى الطريقة.)

2. حدد مجموعة النقط M ذات اللحق $z$ بحيث يكون $z^{\prime }$ عدداً حقيقياً صرفاً ($\text{Im}(z^{\prime })=0$)، أي $b=0$. بين أن هذه المجموعة هي دائرة يجب تحديد مركزها وشعاعها.
3. حدد النقط الصامدة للتحويل، أي النقط M بحيث $z^{\prime }=z$. حل المعادلة $z^2-z-1-i=0$ في $\mathbb{C}$.

الجزء 2 — جذور المعادلة $z^2-z-1-i=0$

نبحث عن جذور $P(z)=z^2-z-1-i$ على شكل $z=a+bi$ حيث $a,b\in \mathbb{R}$.

1. بوضع $\Delta =5+4i$ (المميز)، ابحث عن الجذور المربعة لـ $\Delta$ على شكل $u+vi$ ($u,v\in \mathbb{R}$). حل النظمة المحصل عليها بمقارنة الأجزاء الحقيقية والتخيلية.
2. استنتج الجذرين $z_1$ و $z_2$ لـ $P(z)$. تحقق أن $z_1+z_2=1$ و $z_1\times z_2=-1-i$ (علاقات Viète).
3. مثل النقطتين الصامدتين $M_1$ و $M_2$ في المستوى. احسب $|M_1{M}_2|$ وعمدة $z_2-z_1$.

الجزء 3 — صورة دائرة

نعتبر الدائرة (C) التي معادلتها $x^2+y^2=1$ (دائرة الوحدة). لتكن M نقطة من (C) تختلف عن $i$ (ذات اللحق $i$).

1. من أجل $M\in$ (C)، بين أن $|z|=1$، أي $z\times \overline{z}=1$.
2. بين أنه، لكل $M\in$ (C) مع $z\ne i$، لدينا $|z^{\prime }|=\frac{|z+1|}{|z-i|}$.
3. باستخدام $|z{|}^2=1$، احسب $|z+1{|}^2$ و $|z-i{|}^2$ بدلالة الأجزاء الحقيقية والتخيلية لـ $z$، ثم بين أن صورة (C) بواسطة التحويل محتواة في مستقيم يجب تحديده.