الجذور التكعيبية للعدد w = -4 + 4i√3 ومضلع منتظم

Intermédiaire Inspiré BAC Sénégal
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Exercice inspiré d'un BAC Sénégal
Source-style : BAC Sénégal Série S 2023
Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

التمرين 4 — الجذور التكعيبية ومضلع منتظم

نبحث عن الجذور التكعيبية للعدد العقدي ، أي حلول المعادلة في .

  1. اكتب على الشكل الأسي ، مع تحديد و .
  2. حدد الجذور التكعيبية الثلاثة للعدد على الشكل الأسي، ثم على الشكل الجبري المضبوط.
  3. لتكن A و B و C نقطًا من المستوى ألحاقها على التوالي .
    (أ) بين أن A و B و C هي رؤوس مثلث متساوي الأضلاع بحساب المسافات و و .
    (ب) احسب لحق مركز ثقل G للمثلث ABC. ماذا تلاحظ؟
  4. احسب جبريًا وفسر النتيجة هندسيًا.

إرشادات

— انقر للكشف
1 الإرشاد 1
Pour mettre $w = -4 + 4i\sqrt{3}$ sous forme exponentielle, commence par calculer son module avec la formule $|w| = \sqrt{a^2 + b^2}$, puis identifie l'angle $\theta$ en plaçant le point dans le plan complexe : quel quadrant ?
2 الإرشاد 2
Une fois $w = 8e^{i\theta}$ trouvé, pour résoudre $z^3 = w$, pose $z = \rho e^{i\varphi}$. Tu auras $\rho^3 = 8$ et $3\varphi = \theta + 2k\pi$ avec $k \in \{0,1,2\}$. Cela te donnera trois valeurs de $\varphi$ espacées de $\dfrac{2\pi}{3}$.

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الطريقة — من أين نبدأ

Pour mettre sous forme exponentielle, commence par calculer son module avec la formule , puis identifie l'angle en plaçant le point dans le plan complexe : quel quadrant ?

Une fois trouvé, pour résoudre , pose . Tu auras et avec . Cela te donnera trois valeurs de espacées de .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

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الشكل المثلثي وعمدة عدد عقدي كل تمارين الدرس صيغة موافر، الخطية والمتطابقات المثلثية