تأويل هندسي وتحويلات اعتيادية

التمرين 5 — التحويلات الهندسية في المستوى والأعداد العقدية

المستوى منسوب إلى معلم متعامد ممنظم ومباشر $(\text{O},\vec{u},\vec{v})$. نعتبر النقطتين A و B اللتين لحقاهما على التوالي $z_A=2$ و $z_B=2i$.

الجزء 1 — دراسة تحويل

نُعرف التحويل f من المستوى نحو نفسه، والذي يربط كل نقطة M ذات اللحق z بالنقطة M' ذات اللحق z' حيث:

$z^{\prime }=(1+i)z-2i$

1. بين أن f تشابه مباشر. حدد نسبته k، وزاويته $\alpha$، ومركزه $\Omega$ (النقطة الصامدة لـ f).
2. حدد صورتي A' و B' للنقطتين A و B بواسطة f.
3. احسب $|A^{\prime }{B}^{\prime }|$ وتحقق من أنها متوافقة مع نسبة التشابه.

الجزء 2 — العمدة والاستقامية

نعتبر ثلاث نقط متمايزة P و Q و R ألحاقها على التوالي p و q و r.

4. اذكر الشرط على $\arg \left(\frac{r-p}{q-p}\right)$ لكي تكون النقط P و Q و R مستقيمية.
5. نضع $p=0$ و $q=1+i$ و $r=3+i$. احسب $\frac{r-p}{q-p}$. هل النقط P و Q و R مستقيمية؟ علل جوابك.
6. احسب الزاوية الموجهة $(\overline{PQ},\overline{PR})$ (بالراديان).