التمرين 2 — الشكل الأسي وصيغة موافر نضع j = e i 2 π /3 . الجزء 1 — دراسة j اكتب j على الشكل الجبري. نذكر أن cos ( 2 π /3 ) = − 1/2 و sin ( 2 π /3 ) = 3 /2 . بين أن j جذر لكثير الحدود P ( z ) = z 2 + z + 1 . استنتج أن 1 + j + j 2 = 0 . احسب j 3 باستخدام الشكل الأسي. ماذا يمثل j هندسياً في المستوى العقدي؟ الجزء 2 — صيغة موافر وحساب المثلثات ليكن θ ∈ R . نضع z = cos θ + i sin θ . بتطوير ( cos θ + i sin θ ) 3 باستخدام صيغة ثنائي الحد لنيوتن، عبر عن cos ( 3 θ ) و sin ( 3 θ ) بدلالة cos θ و sin θ . استنتج تعبيراً لـ cos ( 3 θ ) بدلالة cos θ فقط. حل في R المعادلة: 4 cos 3 θ − 3 cos θ = 1/2 . الجزء 3 — تطبيق نعتبر النقط A و B و C ذات الألحاق على التوالي z A = 1 و z B = j و z C = j 2 . بين أن المثلث ABC متساوي الأضلاع.

الشكل الأسي، صيغة موافر والمتطابقات المثلثية

Intermédiaire Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

التمرين 2 — الشكل الأسي وصيغة موافر

نضع $j = e^{i 2 π /3}$ .

الجزء 1 — دراسة j

اكتب j على الشكل الجبري. نذكر أن $cos (2 π /3) = - 1/2$ و $sin (2 π /3) = 3 /2$ .
بين أن j جذر لكثير الحدود $P (z) = z^{2} + z + 1$ . استنتج أن $1 + j + j^{2} = 0$ .
احسب $j^{3}$ باستخدام الشكل الأسي. ماذا يمثل j هندسياً في المستوى العقدي؟

الجزء 2 — صيغة موافر وحساب المثلثات

ليكن $θ \in R$ . نضع $z = cos θ + i sin θ$ .

بتطوير $(cos θ + i sin θ)^{3}$ باستخدام صيغة ثنائي الحد لنيوتن، عبر عن $cos (3 θ)$ و $sin (3 θ)$ بدلالة $cos θ$ و $sin θ$ .
استنتج تعبيراً لـ $cos (3 θ)$ بدلالة $cos θ$ فقط.
حل في $R$ المعادلة: $4 cos^{3} θ - 3 cos θ = 1/2$ .

الجزء 3 — تطبيق

نعتبر النقط A و B و C ذات الألحاق على التوالي $z_{A} = 1$ و $z_{B} = j$ و $z_{C} = j^{2}$ . بين أن المثلث ABC متساوي الأضلاع.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points