المتتاليات والأعداد العقدية — التقارب والتمثيل

التمرين 6 — متتالية أعداد عقدية وهندسة

نعرف المتتالية ($z_n$) من الأعداد العقدية بـ:

• $z_0=1$
• من أجل كل $n\in \mathbb{N}$ : $z_{n+1}=\frac{1}{2}{z}_n+\frac{1}{2}i$

1. الجزء A — دراسة المتتالية

   (a) بين أن المتتالية ($z_n$) يمكن كتابتها على الشكل $z_{n+1}-L=\frac{1}{2}(z_n-L)$ من أجل عدد عقدي $L$ يجب تحديده.
   (b) استنتج تعبيرا لـ $z_n$ بدلالة $n$.
   (c) بين أن المتتالية ($z_n$) متقاربة وحدد نهايتها $l$.

2. الجزء B — المعايير والزوايا

   نضع $w_n=z_n-l$ (حيث $l$ هي النهاية المحصل عليها في A).
   (a) عبر عن $|w_n|$ بدلالة $n$. ماذا يمكن أن نقول عن المتتالية ($|w_n|$)؟
   (b) بين أن $\arg (w_{n+1})=\arg (w_n)$ من أجل كل $n$، وفسر هندسيا.

3. الجزء C — التمثيل الهندسي

   ليكن $M_n$ النقطة ذات اللاحقة $z_n$ في المستوى العقدي.
   (a) بين أن النقط $M_n$ تقع جميعها على نفس القطعة $[AB]$ التي يجب تحديدها.
   (b) احسب المسافة $M_n{M}_{n+1}$ بدلالة $n$.
   (c) بين أن متسلسلة الأطوال $\sum M_n{M}_{n+1}$ هي متتالية هندسية متقاربة واحسب المجموع الكلي للمسافات المقطوعة.

4. الجزء D — الصيغة الأسية

   اكتب $z_1$، $z_2$ و $z_3$ على الشكل الجبري، ثم احسب $|z_n-l|$ و $\arg (z_n-l)$ من أجل $n\ge 1$. استنتج الصيغة الأسية لـ $w_n=z_n-l$.