تحويلات المستوى العقدي - تشابه ومجموعة نقط

التمرين 5 — تحويل المستوى والمحل الهندسي

المستوى منسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O, $\vec{u}$, $\vec{v}$). لكل نقطة M لحقها $z\ne i$، نربط النقطة M' التي لحقها $z^{\prime }$ المعرفة بما يلي:

$z^{\prime }=\frac{z+1}{z-i}$

1. الجزء A — تمهيد جبري

   (أ) بين أن $z^{\prime }$ يمكن كتابته على الشكل $z^{\prime }=1+\frac{1+i}{z-i}$.
   (ب) حدد لحق النقطة M بحيث $z^{\prime }=z$ (النقط الصامدة للتحويل).

2. الجزء B — صورة مستقيم

   نعتبر المجموعة D للنقط M التي لحقها $z$ بحيث $\text{Re}(z)=0$ (المحور التخيلي الصرف)، مع $z\ne i$.
   (أ) نضع $z=iy$ حيث $y\in \mathbb{R}$، $y\ne 1$. عبر عن $z^{\prime }$ بدلالة $y$ على الشكل الجبري.
   (ب) بين أن $\text{Re}(z^{\prime })=-\frac{1}{2}$ لكل $z\in D$. استنتج أن صورة D بالتحويل محتواة في مستقيم عمودي يجب تحديده.

3. الجزء C — صورة دائرة

   نعتبر المجموعة $\Gamma$ للنقط M التي لحقها $z$ بحيث $|z|=1$، مع $z\ne i$.
   (أ) نضع $z=e^{i\theta }$ حيث $\theta \in ]-\pi ;\pi [$، $\theta \ne \frac{\pi }{2}$. عبر عن $|z^{\prime }{|}^2$ بدلالة $\theta$.
   (ب) بين أن صورة $\Gamma$ بالتحويل هي دائرة يجب تحديد مركزها وشعاعها.

4. الجزء D — شرط هندسي

   حدد مجموعة النقط M التي لحقها $z$ بحيث $z^{\prime }$ عدد حقيقي ($\text{Im}(z^{\prime })=0$). صف هندسياً هذه المجموعة.