قوى، شكل أسي ومتتالية هندسية عقدية

التمرين 6 — المتتالية الهندسية العقدية والشكل الأسي

نضع $\omega =e^{i\pi /6}$ ونعرف المتتالية ($z_n$)${}_{n\in \mathbb{N}}$ بما يلي :

$z_0=2$   و   $z_{n+1}=(1+i\sqrt{3})\times z_n$ لكل $n\in \mathbb{N}$.

الجزء 1 — دراسة المتتالية

1. بين أن ($z_n$) متتالية هندسية أساسها q. حدد q على شكل جبري ثم على شكل أسي.
2. عبر عن $z_n$ بدلالة n على شكل أسي، ثم على شكل جبري.
3. احسب $|z_n|$ و $\arg (z_n)$ بدلالة n.

الجزء 2 — التأويل الهندسي

نرمز بـ $M_n$ إلى النقطة ذات اللحق $z_n$ في معلم متعامد ممنظم مباشر $(O,\bar{u},\bar{v})$.

4. بين أن جميع النقط $M_n$ تقع على حلزون: حدد كيف يتغير المعيار والعمدة في كل خطوة.
5. حدد قيم $n\in \mathbb{N}$ التي تكون من أجلها $M_n$ على محور الأعداد الحقيقية (الجزء التخيلي منعدم). استنتج اللواحق الموافقة.
6. نضع $S_n=z_0+z_1+...+z_n$. احسب $S_n$ بدلالة n. أعط الشكل الجبري لـ $S_2$.