Transformation z'=(z+1/z)/2 : médiatrice et cercle

نعتبر النقطة $M$ ذات اللاحقة $z$ والنقطة $M^{\prime }$ ذات اللاحقة $z^{\prime }=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)$.

1. حدد الأعداد العقدية $z$ التي من أجلها تتطابق النقطتان $M$ و $M^{\prime }$.

2. نفترض أن $M$ مختلفة عن النقطتين $A$ و $B$ ذات اللاحقتين على التوالي $1$ و $-1$. بين أن $\frac{z^{\prime }+1}{z^{\prime }-1}={\left(\frac{z+1}{z-1}\right)}^2$.

3. ليكن $(\Delta )$ المحور المتوسط للقطعة $[AB]$. بين أنه إذا كان $M\in (\Delta )$، فإن $M^{\prime }\in (\Delta )$.

4. ليكن $(\mathcal{C})$ الدائرة التي قطرها $[AB]$. بين أنه إذا كان $M\in (\mathcal{C})$، فإن النقط $A$ و $B$ و $M^{\prime }$ مستقيمية.