Équation, rotation d'angle pi/8 et triangle isocèle

A) حل في $\mathbb{C}$ المعادلة $(E):z^2+(1-i)z+2-2i=0$.

نضع بعد ذلك $a=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$.

1. a) اكتب $a$ على الشكل المثلثي واستنتج أن $a^{2024}\in \mathbb{R}$. b) نضع $b=\cos \frac{\pi }{8}+i\sin \frac{\pi }{8}$ ؛ بين أن $b^2=a$.

2. في المعلم المتعامد والمتجانس، نرمز $A(a)$، $B(b)$، $C(c)$ مع $c=1$، و $R$ الدوران حول المركز $O$ وبزاوية $\frac{\pi }{8}$، ذو الكتابة المركبة $M(z)\mapsto M^{\prime }(z^{\prime })$. a) تحقق من أن $z^{\prime }=bz$. b) حدد صورة $C$ بواسطة $R$ وبين أن $A=R(B)$.

3. a) بين أن $|a-b|=|b-c|$ وحدد طبيعة المثلث $ABC$. b) حدد قياساً للزاوية $(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})$.

4. $T$ هو الإزاحة ذات المتجه $\vec{u}$ (اللاحقة $1$) و $D=T(A)$. a) تحقق من أن $d=b^2+1$. b) بين أن $\frac{b^2+1}{b}=b+\overline{b}$ واستنتج أن $O$، $B$، $D$ على استقامة واحدة.