متغير عشوائي، قانون طبيعي ودراسة شاملة

تقوم مؤسسة صناعية في الدار البيضاء بتصنيع قطع معدنية. تتبع الكتلة $X$ (بالغرامات) لقطعة ما قانونًا طبيعيًا بمتوسط $\mu =200$ g وانحراف معياري $\sigma =5$ g.

الجزء أ – دراسة القانون الطبيعي

1. احسب $P(190\le X\le 210)$. فسّر هذه النتيجة.
2. احسب $P(X>207,9)$. قرّب إلى الجزء من الألف.
   معطى: $\Phi (1,58)\approx 0,943$.
3. نعتبر أن القطعة "مطابقة" إذا كانت كتلتها محصورة بين $191$ g و $209$ g. احسب احتمال أن تكون القطعة مطابقة. قرّب إلى الجزء من الألف.
   معطى: $\Phi (1,8)\approx 0,964$.

الجزء ب – القانون ذو الحدين المرتبط

نأخذ عينة من $15$ قطعة. نرمز بـ $Z$ لعدد القطع غير المطابقة في هذه العينة.

1. باستخدام نتيجة أ.3، حدد قانون الاحتمال الذي يتبعه $Z$ وحدد معاملاته.
2. احسب احتمال أن تكون العينة مطابقة بالكامل (لا توجد قطعة غير مطابقة). قرّب إلى الجزء من الألف.
   معطى: $0,928^{15}\approx 0,319$.
3. تُقبل العينة إذا كان عدد القطع غير المطابقة أقل من أو يساوي $1$. عبّر عن $P(Z\le 1)$ بدلالة الاحتمال $q=P(\text{قطعة غير مطابقة})$ و $n=15$، ثم احسب قيمة عددية تقريبية.
   معطى: $0,928^{14}\approx 0,344$ ; $q=0,072$.

الجزء ج – تفكير نقدي

يرغب المدير في أن يكون احتمال قبول العينة $P(Z\le 1)$ أكبر من $0,85$. بناءً على الحسابات السابقة، هل تم تحقيق الهدف؟ ماذا يجب تعديله في عملية التصنيع لتحقيقه؟