Loi normale, intervalle de confiance et décision statistique

Une entreprise pharmaceutique de Casablanca fabrique des comprimés dont la masse (en mg) suit une loi normale de moyenne $\mu$ = 500 mg et d'écart-type $\sigma$ = 8 mg. On note X la masse d'un comprimé choisi au hasard.

1. Calculer $P(484\le X\le 516)$. Interpréter ce résultat.
2. Un comprimé est déclaré non conforme si sa masse est inférieure à 480 mg ou supérieure à 520 mg. Calculer la probabilité qu'un comprimé soit non conforme.
3. On prélève un échantillon de $n=400$ comprimés. Soit $f$ la fréquence observée de comprimés non conformes dans cet échantillon.
   On admet que $f$ est une estimation de la proportion $p$ de comprimés non conformes calculée en question 2.
   Construire un intervalle de confiance au niveau 95% pour $p$. (On rappelle que pour un niveau de confiance de 95%, on utilise $z=1,96$.)
4. En réalité, dans un autre lot, on observe que 28 comprimés sur 400 sont non conformes. À l'aide de l'intervalle de confiance construit en question 3, peut-on affirmer, au seuil de 5%, que ce lot présente un taux de non-conformité différent de celui de la production habituelle ? Justifier rigoureusement.

Données : $\Phi$ désigne la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite $N(0,1)$.
$\Phi (2)\approx 0,9772$ ; $\Phi (2,5)\approx 0,9938$ ; $\Phi (1,96)\approx 0,975$.