Variable aléatoire, loi normale et étude complète – Production industrielle

Une entreprise industrielle de Casablanca fabrique des pièces métalliques. La masse $X$ (en grammes) d'une pièce suit une loi normale de moyenne $\mu =200$ g et d'écart-type $\sigma =5$ g.

Partie A – Étude de la loi normale

1. Calculer $P(190\le X\le 210)$. Interpréter ce résultat.
2. Calculer $P(X>207,9)$. Arrondir au millième.
   On donne : $\Phi (1,58)\approx 0,943$.
3. On considère qu'une pièce est « conforme » si sa masse est comprise entre $191$ g et $209$ g. Calculer la probabilité qu'une pièce soit conforme. Arrondir au millième.
   On donne : $\Phi (1,8)\approx 0,964$.

Partie B – Loi binomiale associée

On prélève un lot de $15$ pièces. On note $Z$ le nombre de pièces non conformes dans ce lot.

1. En utilisant le résultat de A.3, déterminer la loi de probabilité suivie par $Z$ et préciser ses paramètres.
2. Calculer la probabilité que le lot soit entièrement conforme (aucune pièce non conforme). Arrondir au millième.
   On donne : $0,928^{15}\approx 0,319$.
3. Un lot est accepté si le nombre de pièces non conformes est inférieur ou égal à $1$. Exprimer $P(Z\le 1)$ en fonction de la probabilité $q=P(\text{pieˋce non conforme})$ et de $n=15$, puis calculer une valeur numérique approchée.
   On donne : $0,928^{14}\approx 0,344$ ; $q=0,072$.

Partie C – Réflexion critique

Le directeur souhaite que la probabilité d'acceptation du lot $P(Z\le 1)$ soit supérieure à $0,85$. Au vu des calculs précédents, l'objectif est-il atteint ? Que devrait-on modifier dans le procédé de fabrication pour l'atteindre ?