Loi binomiale et contrôle qualité en usine

Facile Inspiré BAC Côte d'Ivoire
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Exercice inspiré d'un BAC Côte d'Ivoire
Source-style : BAC Côte d'Ivoire Série C 2023
Inspiré du style BAC Côte d'Ivoire Série C 2023
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Une usine de fabrication de pièces mécaniques à Casablanca produit des pièces dont 5% sont défectueuses. Un contrôleur prélève un échantillon de 20 pièces au hasard. On note X le nombre de pièces défectueuses dans cet échantillon.

  1. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
  2. Calculer la probabilité qu'il n'y ait aucune pièce défectueuse dans l'échantillon. (Donner le résultat arrondi à près.)
  3. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins 2 pièces défectueuses. (Arrondir à près.)
  4. Calculer l'espérance et l'écart-type de X. Interpréter ces résultats.

On admettra que ≈ 0,358 et ≈ 0,377.

Indices

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1 Indice 1
Pour justifier qu'on a une loi binomiale, vérifie les trois conditions : est-ce qu'on répète $n$ fois la même expérience ? Les tirages sont-ils indépendants ? Y a-t-il exactement deux issues possibles à chaque fois ?
2 Indice 2
Pour calculer $P(X = 0)$, utilise la formule de la loi binomiale : $P(X = k) = C_{n}^{k} \times p^{k} \times (1-p)^{n-k}$. Ici $k=0$, donc plusieurs termes deviennent égaux à $1$. Utilise la valeur approchée donnée pour $0,95^{20}$.

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La méthode — par où commencer

Pour justifier qu'on a une loi binomiale, vérifie les trois conditions : est-ce qu'on répète fois la même expérience ? Les tirages sont-ils indépendants ? Y a-t-il exactement deux issues possibles à chaque fois ?

Pour calculer , utilise la formule de la loi binomiale : . Ici , donc plusieurs termes deviennent égaux à . Utilise la valeur approchée donnée pour .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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