القانون الطبيعي ومجال الثقة

التمرين 4 — وزن برتقال سوس

يتبع وزن (بالجرام) البرتقال المنتج في منطقة سوس قانونًا طبيعيًا بمتوسط $\mu =180$ جرام وانحراف معياري $\sigma =20$ جرام. نرمز لهذه المتغيرة العشوائية بـ $X$.

1. احسب $P(160\le X\le 200)$. فسر هذه النتيجة.

2. احسب $P(X>210)$. (قرب إلى $10^{-4}$.)

3. حدد القيمة $a$ بحيث $P(X\le a)=0,9772$.

4. يأخذ مصدر عينة من $n=400$ برتقالة ويلاحظ أن 84 منها لها وزن أقل من 150 جرام. لتكن $f$ التردد الملاحظ لهذه الخاصية في العينة.

• أ) احسب $f$.
• ب) أعط مجال ثقة بمستوى 95% للنسبة الحقيقية $p$ للبرتقال الذي يقل وزنه عن 150 جرام في الإنتاج. (نذكر أن مجال الثقة بمستوى 95% هو: $I=[f-\frac{1}{\sqrt{n}};f+\frac{1}{\sqrt{n}}]$.)
• ج) هل القيمة النظرية $P(X<150)$ متوافقة مع هذا المجال؟ احسب $P(X<150)$ للإجابة.