Variable aléatoire à construire et loi binomiale composée

Exercice 6 — Tirage avec et sans remise dans une urne

Une urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires (10 boules au total). On effectue des tirages successifs dans cette urne.

Partie A — Tirage sans remise

On tire successivement et sans remise 3 boules de l'urne. On note $X$ le nombre de boules blanches obtenues.

1. Justifier que $X$ ne suit pas une loi binomiale.

2. Déterminer la loi de probabilité de $X$ en calculant $P(X=k)$ pour $k\in \{0,1,2,3\}$. (On exprimera les probabilités sous forme de fractions irréductibles.)

3. Vérifier que la somme des probabilités vaut 1.

4. Calculer $E(X)$ et $V(X)$.

Partie B — Tirage avec remise et loi binomiale

On tire maintenant 3 boules successivement avec remise. On note $Y$ le nombre de boules blanches obtenues.

5. Justifier que $Y$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. Calculer $E(Y)$ et $V(Y)$.

6. Comparer $E(X)$ et $E(Y)$ d'une part, $V(X)$ et $V(Y)$ d'autre part. Commenter.

Partie C — Schéma répété

On répète l'expérience « tirer 3 boules avec remise » un grand nombre de fois ($n=90$ répétitions indépendantes). On note $Z$ le nombre de répétitions pour lesquelles on obtient exactement 2 boules blanches.

7. Déterminer la loi de $Z$. Calculer $E(Z)$ et $\sigma (Z)$.

8. En utilisant l'inégalité de concentration $P(|Z-E(Z)|\ge 2\sigma (Z))\le 1/4$ (inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $k=2$), majorer la probabilité que $Z$ s'écarte de son espérance de plus de $2\sigma (Z)$.