قانون ثنائي الحد: نمذجة وحساب

التمرين 3 — البذور والإنبات

يقوم مهندس زراعي من منطقة الرباط بإجراء اختبارات على البذور. احتمال أن تنبت بذرة هو $p=0,7$. نفترض أن عمليات الإنبات مستقلة من بذرة لأخرى. نزرع $n=10$ بذور.

نرمز بـ $X$ للمتغير العشوائي الذي يمثل عدد البذور التي تنبت.

1. برر أن $X$ يتبع قانونا ثنائي الحد، وحدد وسيطيه.

2. احسب الاحتمالات التالية (قرب إلى $10^{-4}$):

• أ) $P(X=7)$
• ب) $P(X\ge 9)$
• ج) $P(3\le X\le 5)$

3. احسب الأمل الرياضي $E(X)$، والتباين $V(X)$، والانحراف المعياري $\sigma (X)$. فسر $E(X)$.

4. نعتبر المتغير العشوائي $Y=2X-3$. احسب $E(Y)$ و $V(Y)$.

5. يؤكد المهندس الزراعي أنه "من المرجح جدا" أن ينبت أكثر من نصف البذور. احسب $P(X>5)$ للتحقق من هذا التأكيد. (قرب إلى $10^{-4}$).