قانون ثنائي الحد واحتمالات شرطية

في إحدى مناطق المغرب، كشفت دراسة وبائية أن 8% من السكان مصابون بمرض معين. يُستخدم اختبار الكشف عن هذا المرض بالخصائص التالية:

• إذا كان الشخص مريضًا، فإن الاختبار يكون إيجابيًا باحتمال 0,95.
• إذا لم يكن الشخص مريضًا، فإن الاختبار يكون إيجابيًا باحتمال 0,03.

نختار شخصًا عشوائيًا من هذا السكان. نرمز بـ M للحدث "الشخص مريض" وبـ T للحدث "الاختبار إيجابي".

1. احسب احتمال أن يكون الاختبار إيجابيًا، $P(T)$.
2. علمًا أن الاختبار إيجابي، احسب احتمال أن يكون الشخص مريضًا بالفعل. علّق على النتيجة.
3. نأخذ الآن عينة من 15 شخصًا مستقلين من هذا السكان. نرمز بـ X لعدد الأشخاص الذين كانت نتائج اختبارهم إيجابية. برر أن X يتبع قانونًا ثنائيًا (loi binomiale)، حدد معاملاته، ثم احسب $P(X\le 1)$ مقربًا إلى $10^{-4}$.
4. حدد أصغر عدد صحيح n بحيث يكون احتمال أن يكون على الأقل شخص واحد من بين n لديه اختبار إيجابي أكبر من 0,99.