Variable aléatoire et loi binomiale – Jeu de hasard et stratégie optimale

Un jeu de hasard se déroule de la façon suivante : un joueur lance trois fois un dé équilibré à 6 faces. À chaque lancer, il gagne 10 dirhams si le résultat est 6, et perd 3 dirhams sinon. Le joueur paie 5 dirhams pour participer au jeu.

On note X le nombre de fois où le joueur obtient 6 lors des trois lancers.

1. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
2. Dresser la loi de probabilité de X.
3. Soit G le gain algébrique du joueur (en dirhams), en tenant compte du coût de participation. Exprimer G en fonction de X, puis calculer E(G). Le jeu est-il favorable au joueur ?
4. On note $Y=2X-1$. Calculer E(Y) et V(Y) en utilisant les propriétés de l'espérance et de la variance.
5. Le joueur décide de jouer n parties indépendantes. Soit $S_n$ la somme totale de ses gains algébriques sur les n parties. Exprimer E($S_n$) en fonction de n. Déterminer le nombre minimal de parties n à partir duquel l'espérance de gain total devient négative (inférieure à −50 dirhams).