Loi binomiale et probabilités conditionnelles — Dépistage médical

Intermédiaire Inspiré BAC Sénégal
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Exercice inspiré d'un BAC Sénégal
Source-style : BAC Sénégal Série S 2023
Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Dans une région du Maroc, une étude épidémiologique révèle que 8 % de la population est atteinte d'une certaine maladie. Un test de dépistage est utilisé avec les caractéristiques suivantes :

  • Si la personne est malade, le test est positif avec une probabilité de 0,95.
  • Si la personne n'est pas malade, le test est positif avec une probabilité de 0,03.

On choisit une personne au hasard dans cette population. On note M l'événement « la personne est malade » et T l'événement « le test est positif ».

  1. Calculer la probabilité que le test soit positif, .
  2. Sachant que le test est positif, calculer la probabilité que la personne soit réellement malade. Commenter le résultat.
  3. On prélève maintenant un échantillon de 15 personnes indépendantes dans cette population. On note X le nombre de personnes dont le test est positif. Justifier que X suit une loi binomiale, préciser ses paramètres, puis calculer arrondi à .
  4. Déterminer le plus petit entier n tel que la probabilité qu'au moins une personne parmi n ait un test positif soit supérieure à 0,99.

Indices

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1 Indice 1
Pour calculer $P(T)$, utilise la formule des probabilités totales : décompose selon que la personne est malade ou non. Tu as besoin de $P(M)$, $P(\overline{M})$, $P(T|M)$ et $P(T|\overline{M})$.
2 Indice 2
Pour $P(M|T)$, applique la formule de Bayes : $P(M|T) = \dfrac{P(T|M) \times P(M)}{P(T)}$. Tu as déjà calculé $P(T)$ à la question précédente, utilise-le maintenant.

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La méthode — par où commencer

Pour calculer , utilise la formule des probabilités totales : décompose selon que la personne est malade ou non. Tu as besoin de , , et .

Pour , applique la formule de Bayes : . Tu as déjà calculé à la question précédente, utilise-le maintenant.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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