Loi de Poisson et variable aléatoire – Appels téléphoniques et décision

Un centre d'appels à Marrakech reçoit en moyenne $\lambda =3$ appels par tranche de 5 minutes. On modélise le nombre d'appels reçus par une loi de Poisson de paramètre $\lambda =3$.

On note X la variable aléatoire égale au nombre d'appels reçus en 5 minutes.

1. Rappeler la loi de X, et calculer $P(X=0)$, $P(X=1)$, $P(X=2)$ et $P(X\ge 3)$. (On donnera les valeurs exactes puis des valeurs approchées à $10^{-3}$. On admet $e^{-3}$ ≈ 0,0498.)
2. Calculer $E(X)$ et $V(X)$. Interpréter ces résultats.
3. On considère maintenant deux tranches de 5 minutes consécutives et indépendantes. Soit Y le nombre total d'appels reçus sur ces 10 minutes. Quelle est la loi de Y ? (Justifier sans démonstration.)
4. En utilisant la loi de Y, calculer la probabilité que le centre reçoive strictement plus de 4 appels en 10 minutes. (On admet $e^{-6}$ ≈ 0,00248.)
5. Le directeur du centre décide de renforcer l'équipe dès que la probabilité de recevoir au moins k appels en 5 minutes dépasse 0,5. Trouver la valeur de l'entier k ($k\ge 1$) correspondant à ce seuil. (On utilisera les valeurs calculées en question 1 et on complétera si nécessaire.)