Contrôle qualité dans une usine de Casablanca — Loi binomiale et espérance

Une usine de fabrication de composants électroniques située à Casablanca produit des pièces dont 5 % sont défectueuses. Un contrôleur prélève un échantillon de n pièces de façon indépendante.

On note X la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses dans l'échantillon.

1. Partie A — Loi de X et premiers calculs (n = 20)

   1. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
   2. Calculer $P(X=0)$ et $P(X=1)$. On donnera les valeurs exactes puis des valeurs approchées à $10^{-4}$ près. (On rappelle que $0,95^{20}\approx 0,3585$.)
   3. Calculer l'espérance $E(X)$ et l'écart-type $\sigma (X)$. Interpréter $E(X)$ dans le contexte.

2. Partie B — Probabilité d'au moins deux pièces défectueuses

   1. Exprimer $P(X\ge 2)$ en fonction de $P(X=0)$ et $P(X=1)$, puis calculer sa valeur approchée à $10^{-4}$ près.
   2. On souhaite que la probabilité d'obtenir au moins une pièce défectueuse soit inférieure à 0,10. Montrer que cette condition s'écrit : $0,95^n>0,90$, puis déterminer la valeur maximale de n satisfaisant cette condition. (On rappelle que $\ln (0,95)\approx -0,0513$ et $\ln (0,90)\approx -0,1054$.)

3. Partie C — Variable aléatoire du gain

   Le contrôleur met en place un système de bonus : pour chaque lot de 20 pièces prélevées, l'usine reçoit 100 dirhams si le lot ne contient aucune pièce défectueuse, 40 dirhams si le lot contient exactement une pièce défectueuse, et doit payer une pénalité de 60 dirhams si le lot contient au moins deux pièces défectueuses.

   On note G la variable aléatoire représentant le gain algébrique (en dirhams) de l'usine pour un lot de 20 pièces.

   1. Déterminer la loi de probabilité de G.
   2. Calculer $E(G)$. L'usine est-elle bénéficiaire en moyenne ?
   3. Calculer $V(G)$ et $\sigma (G)$. Arrondir $\sigma (G)$ à l'unité.