Loi binomiale – Contrôle qualité en production

Facile Inspiré BAC Sénégal
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Exercice inspiré d'un BAC Sénégal
Source-style : BAC Sénégal Série S 2023
Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Une usine de Casablanca fabrique des pièces mécaniques. On sait que 10 % des pièces produites sont défectueuses. Un contrôleur prélève au hasard un échantillon de 8 pièces.

On suppose que le prélèvement est assimilable à un tirage avec remise. On note X la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses dans l'échantillon.

  1. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
  2. Calculer la probabilité qu'il n'y ait aucune pièce défectueuse dans l'échantillon. Arrondir à .
  3. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins deux pièces défectueuses. Arrondir à .
  4. Calculer l'espérance E(X) et la variance V(X). Interpréter E(X).

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pour justifier qu'on a une loi binomiale, vérifie ces trois critères : nombre fixe d'épreuves identiques, deux issues possibles par épreuve, et indépendance entre les tirages. Identifie ensuite $n$ et $p$.
2 Indice 2
Pour calculer $P(X = 0)$, utilise la formule $P(X = k) = C_n^k \times p^k \times (1-p)^{n-k}$ avec $k=0$. Rappelle-toi que $C_8^0 = 1$ et que $(0,1)^0 = 1$, il te reste juste à calculer $(0,9)^8$.

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La méthode — par où commencer

Pour justifier qu'on a une loi binomiale, vérifie ces trois critères : nombre fixe d'épreuves identiques, deux issues possibles par épreuve, et indépendance entre les tirages. Identifie ensuite et .

Pour calculer , utilise la formule avec . Rappelle-toi que et que , il te reste juste à calculer .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Contrôle qualité dans une usine de Casablanca — Loi binomiale et espérance Tous les exercices du chapitre Loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète — Bac Sénégal 2023