مراقبة الجودة في مصنع بالدار البيضاء – قانون ثنائي الحد والأمل الرياضي

مصنع لإنتاج المكونات الإلكترونية يقع في الدار البيضاء ينتج قطعًا 5% منها معيبة. يأخذ مراقب عينة من n قطعة بشكل مستقل.

نرمز بـ X للمتغير العشوائي الذي يمثل عدد القطع المعيبة في العينة.

1. الجزء A — قانون X والحسابات الأولية (n = 20)

   1. برر أن X يتبع قانونًا ثنائي الحد (loi binomiale) وحدد معاملاته.
   2. احسب $P(X=0)$ و $P(X=1)$. أعط القيم المضبوطة ثم القيم المقربة إلى $10^{-4}$. (نذكر أن $0,95^{20}\approx 0,3585$.)
   3. احسب الأمل الرياضي $E(X)$ والانحراف المعياري $\sigma (X)$. فسر $E(X)$ في هذا السياق.

2. الجزء B — احتمال وجود قطعتين معيبتين على الأقل

   1. عبر عن $P(X\ge 2)$ بدلالة $P(X=0)$ و $P(X=1)$، ثم احسب قيمتها المقربة إلى $10^{-4}$.
   2. نريد أن يكون احتمال الحصول على قطعة معيبة واحدة على الأقل أقل من 0,10. بين أن هذا الشرط يكتب: $0,95^n>0,90$، ثم حدد القيمة القصوى لـ n التي تحقق هذا الشرط. (نذكر أن $\ln (0,95)\approx -0,0513$ و $\ln (0,90)\approx -0,1054$.)

3. الجزء C — المتغير العشوائي للربح

   يضع المراقب نظام مكافآت: لكل دفعة من 20 قطعة مأخوذة، يتلقى المصنع 100 درهم إذا لم تحتوي الدفعة على أي قطعة معيبة، و40 درهمًا إذا احتوت الدفعة على قطعة معيبة واحدة بالضبط، ويجب عليه دفع غرامة قدرها 60 درهمًا إذا احتوت الدفعة على قطعتين معيبتين على الأقل.

   نرمز بـ G للمتغير العشوائي الذي يمثل الربح الجبري (بالدرهم) للمصنع لدفعة من 20 قطعة.

   1. حدد قانون الاحتمال لـ G.
   2. احسب $E(G)$. هل المصنع يحقق ربحًا في المتوسط؟
   3. احسب $V(G)$ و $\sigma (G)$. قرب $\sigma (G)$ إلى الوحدة.