قانونا الحدين والطبيعي – تقدير ومجال الثقة

كشفت دراسة استقصائية أجريت على عينة من n = 400 من سكان الرباط أن 148 منهم يستخدمون وسائل النقل العمومي يوميًا.

1. احسب التردد f الملاحظ في هذه العينة.
2. نمذجة عدد X من المستخدمين اليوميين لوسائل النقل العمومي في عينة من 400 شخص بواسطة قانون حداني $B(400;p)$، حيث p هي النسبة الحقيقية في الساكنة. أعط $E(X)$ و $V(X)$ بدلالة p.
3. برر أنه، من أجل n = 400 كبير بما فيه الكفاية، يمكن تقريب قانون X بقانون طبيعي. حدد معلمات هذا القانون الطبيعي.
4. باستخدام التقريب الطبيعي وحقيقة أن $P(|Z|\le 1,96)\approx 0,95$ لـ $Z\sim N(0,1)$، أنشئ مجال ثقة بمستوى ثقة 95% للنسبة p.
   سنفترض أن مجال الثقة هو: $I=\left[f-1,96\times \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}};f+1,96\times \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}}\right]$.
5. هل يمكننا التأكيد، عند عتبة 95%، أن نسبة المستخدمين اليوميين مختلفة عن 40% في ساكنة الرباط؟