Un examen comporte 10 questions QCM à 4 choix chacune (une seule bonne réponse). Un élève répond au hasard. Soit X le nombre de bonnes réponses. Déterminer la loi de X, E(X) et V(X). On obtient le diplôme si X ≥ 6 . Calculer P ( X ≥ 6 ) . L'élève révise et sa probabilité de bonne réponse passe à p = 0.7 . Recalculer P ( X ≥ 6 ) . Pour n questions avec p = 0.7 , déterminer le plus petit n tel que P ( X ≥ 1 ) > 0.999 .

Problème complet de probabilités (Bac national)

Difficile

Énoncé

Un examen comporte 10 questions QCM à 4 choix chacune (une seule bonne réponse). Un élève répond au hasard.

Soit X le nombre de bonnes réponses. Déterminer la loi de X, E(X) et V(X).
On obtient le diplôme si $X \geq 6$ . Calculer $P (X \geq 6)$ .
L'élève révise et sa probabilité de bonne réponse passe à $p = 0.7$ . Recalculer $P (X \geq 6)$ .
Pour $n$ questions avec $p = 0.7$ , déterminer le plus petit $n$ tel que $P (X \geq 1) > 0.999$ .

Indices

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1 Indice 1

Reconnais que $X$ suit une loi binomiale $B(n,p)$ avec $n=10$ questions et $p$ la probabilite de succes ; utilise $E(X)=np$ et $V(X)=np(1-p)$.

2 Indice 2

Pour $P(X\\ge 6)$, utilise la formule $P(X=k)=\\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ et additionne les termes de $k=6$ a $k=10$.

3 Indice 3

Pour la derniere question, utilise l'evenement complementaire $P(X\\ge1)=1-P(X=0)$ et resous l'inequation $(1-p)^n < 0{,}001$ a l'aide du logarithme.

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Reconnais que $X$ suit une loi binomiale $B (n, p)$ avec $n = 10$ questions et $p$ la probabilite de succes ; utilise $E (X) = n p$ et $V (X) = n p (1 - p)$ .

Pour $P (X g e 6)$ , utilise la formule $P (X = k) = bin o m n k p^{k} (1 - p)^{n - k}$ et additionne les termes de $k = 6$ a $k = 10$ .

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