Loi de Poisson et modélisation — Pannes informatiques

Difficile Inspiré BAC Sénégal
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Exercice inspiré d'un BAC Sénégal
Source-style : BAC Sénégal Série S 2023
Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Le service informatique d'une grande entreprise à Rabat observe que le nombre de pannes survenant par jour sur son réseau suit une loi de Poisson de paramètre .

On note X la variable aléatoire donnant le nombre de pannes par jour.

  1. Calculer , , et . Donner les résultats arrondis à . On rappelle que ≈ 0,0498.
  2. Sachant qu'il y a eu au moins une panne dans la journée, calculer la probabilité qu'il y en ait eu exactement une. Arrondir à .
  3. On considère maintenant une semaine de 5 jours ouvrables. On suppose que les pannes de chaque jour sont indépendantes. Soit Y le nombre de jours, dans la semaine, où il ne se produit aucune panne. Montrer que Y suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres, puis calculer et .
  4. Le responsable informatique décide d'intervenir si le nombre de pannes dans une journée dépasse un seuil s. Il souhaite que la probabilité d'intervention soit inférieure à 0,05. Déterminer le plus petit entier s satisfaisant cette condition. On utilisera les valeurs suivantes :
    ; ; ; .

Indices

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1 Indice 1
Utilise la formule de la loi de Poisson $P(X=k) = e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}$ avec $\lambda=3$ pour calculer chaque probabilité demandée, et pense à $P(X\geq 2)=1-P(X=0)-P(X=1)$.
2 Indice 2
Pour la probabilité conditionnelle, utilise la formule $P(X=1 \mid X\geq 1) = \dfrac{P(X=1)}{P(X\geq 1)}$ avec $P(X\geq 1)=1-P(X=0)$.
3 Indice 3
Pour Y, identifie le paramètre de succès comme $p_0=P(X=0)$ et le nombre d'épreuves comme le nombre de jours ; utilise ensuite les formules de la loi binomiale $P(Y=0)=(1-p_0)^n$ et $E(Y)=np_0$. Pour la dernière question, cherche le plus petit $s$ tel que $1-P(X\leq s) < 0{,}05$.

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La méthode — par où commencer

Utilise la formule de la loi de Poisson avec pour calculer chaque probabilité demandée, et pense à .

Pour la probabilité conditionnelle, utilise la formule avec .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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