Probabilités conditionnelles et indépendance – Tirage dans deux urnes

On dispose de deux urnes $U_1$ et $U_2$.

• $U_1$ contient $4$ boules rouges et $2$ boules bleues.
• $U_2$ contient $3$ boules rouges et $5$ boules bleues.

On lance un dé équilibré à $6$ faces. Si le résultat est 1 ou 2, on tire une boule dans $U_1$ ; sinon, on tire une boule dans $U_2$.

On définit les événements :

• $A$ : «on tire dans $U_1$»
• $R$ : «la boule tirée est rouge»

1. Calculer $P(A)$ et $P(\overline{A})$.
2. Calculer $P(R|A)$ et $P(R|\overline{A})$.
3. En déduire $P(R)$ à l'aide de la formule des probabilités totales.
4. Sachant que la boule tirée est rouge, calculer la probabilité qu'elle provienne de $U_1$. (Formule de Bayes)
5. Les événements $A$ et $R$ sont-ils indépendants ? Justifier.