Loi normale — Poids de colis dans un entrepôt logistique

Difficile Inspiré BAC Sénégal
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Exercice inspiré d'un BAC Sénégal
Source-style : BAC Sénégal Série S 2023
Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Un entrepôt logistique à Casablanca traite des colis dont le poids (en kg) suit une loi normale de moyenne = 12 kg et d'écart-type = 2,5 kg. On note X la variable aléatoire représentant le poids d'un colis choisi au hasard.

  1. Calculer P(X > 15) et P(9 X 16). On utilisera la table de la loi normale centrée réduite.
  2. Un colis est dit « hors gabarit » si son poids est supérieur à 18 kg. Calculer la probabilité qu'un colis soit hors gabarit. En déduire, pour un lot de 200 colis, le nombre moyen de colis hors gabarit ainsi que l'écart-type correspondant.
  3. On prélève un échantillon de n = 100 colis. On note f la fréquence empirique des colis hors gabarit dans cet échantillon. La proportion théorique est p = P(X > 18). Construire un intervalle de confiance au niveau 95 % pour p. Conclure si f = 0,008.
  4. Le gérant souhaite que 90 % des colis pèsent entre a et b kg, avec a = - c et b = + c (intervalle symétrique autour de la moyenne). Déterminer la valeur de c. On rappelle que Φ(1,645) ≈ 0,95.

Indices

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1 Indice 1
Centre-réduis la variable avec $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ pour te ramener à la loi normale centrée réduite avant d'utiliser la table.
2 Indice 2
Pour la probabilité qu'un colis soit hors gabarit, calcule $P(X>18)$ de la même façon, puis multiplie par $n=200$ pour l'espérance, et utilise $\sigma(Y)=\sqrt{np(1-p)}$ pour l'écart-type.
3 Indice 3
Pour l'intervalle de confiance, utilise la formule $\left[p-1{,}96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\,;\,p+1{,}96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right]$ avec $n=100$, puis compare $f$ à cet intervalle.

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La méthode — par où commencer

Centre-réduis la variable avec pour te ramener à la loi normale centrée réduite avant d'utiliser la table.

Pour la probabilité qu'un colis soit hors gabarit, calcule de la même façon, puis multiplie par pour l'espérance, et utilise pour l'écart-type.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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