نعرف على المجال E = ] − 1 ; 1 [ القانون ∗ بـ: ∀ x , y ∈ ] − 1 ; 1 [ : x ∗ y = 1 + x y x + y بيّن أن ∗ قانون تركيب داخلي على ] − 1 ; 1 [ . بيّن أن ∗ تبديلي وتجميعي. عيّن العنصر المحايد e للقانون ∗ . برهن أن كل x من E يقبل نظيراً (يُطلب تعيينه).

Loi $x*y = \dfrac{x+y}{1+xy}$ sur $]-1;1[$

Intermédiaire

Énoncé

نعرف على المجال $E =] - 1; 1 [$ القانون $*$ بـ:

$\forall x, y \in] - 1; 1 [: x * y = \frac{x + y}{1 + x y}$

بيّن أن $*$ قانون تركيب داخلي على $] - 1; 1 [$ .
بيّن أن $*$ تبديلي وتجميعي.
عيّن العنصر المحايد $e$ للقانون $*$ .
برهن أن كل $x$ من $E$ يقبل نظيراً (يُطلب تعيينه).

إرشادات

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1 الإرشاد 1

Pour montrer que $*$ est une loi interne, tu dois prouver que si $x$ et $y$ sont dans $]-1;1[$, alors $\dfrac{x+y}{1+xy}$ reste aussi dans cet intervalle. Compare $\dfrac{x+y}{1+xy}$ avec $-1$ et avec $1$ en étudiant les signes des différences.

2 الإرشاد 2

Pour comparer $\dfrac{x+y}{1+xy}$ avec $1$, calcule $\dfrac{x+y}{1+xy} - 1$ et factorise le numérateur obtenu. Tu devrais trouver un produit de deux facteurs dont tu peux déterminer le signe grâce aux bornes de l'intervalle $]-1;1[$.

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Pour montrer que $*$ est une loi interne, tu dois prouver que si $x$ et $y$ sont dans $] - 1; 1 [$ , alors $\frac{x + y}{1 + x y}$ reste aussi dans cet intervalle. Compare $\frac{x + y}{1 + x y}$ avec $- 1$ et avec $1$ en étudiant les signes des différences.

Pour comparer $\frac{x + y}{1 + x y}$ avec $1$ , calcule $\frac{x + y}{1 + x y} - 1$ et factorise le numérateur obtenu. Tu devrais trouver un produit de deux facteurs dont tu peux déterminer le signe grâce aux bornes de l'intervalle $] - 1; 1 [$ .

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Loi $x*y = x+y-xy$ sur $[0;1]$ كل تمارين الدرس Stabilité de $H = \{M_{(a;b)}\}$ pour le produit matriciel

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