Loi sur $\mathbb{R}^* \times \mathbb{R}$ : $(x;y)*(x';y') = (xx';xy'+y)$

Pour montrer que $\ast$ est une loi interne, vérifie que si $x\ne 0$ et $x^{\prime }\ne 0$, alors $x{x}^{\prime }\ne 0$. Pour l'associativité, calcule $(x;y)\ast ((x^{\prime };y^{\prime })\ast (x^{\prime \prime };y^{\prime \prime }))$ et compare avec $((x;y)\ast (x^{\prime };y^{\prime }))\ast (x^{\prime \prime };y^{\prime \prime })$.

Pour l'élément neutre, cherche $(a;b)$ tel que $(a;b)\ast (x;y)=(x;y)$ pour tout $(x;y)$. Cela donne $(ax;ay+b)=(x;y)$, donc identifie les deux composantes pour trouver $a$ et $b$.