Sous-espace des solutions d'une équation différentielle

Intermédiaire
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Énoncé

نرمز بـ الفضاء الشعاعي للدوال القابلة للاشتقاق مرتين على ، ونضع:

  1. بيّن أن فضاء شعاعي جزئي من .

  2. عيّن أساساً لـ ثم استنتج .

إرشادات

— انقر للكشف
1 الإرشاد 1
Pour montrer que $H$ est un sous-espace vectoriel, vérifie d'abord que la fonction nulle appartient à $H$, puis montre que si $f$ et $g$ sont dans $H$, alors toute combinaison $\alpha f + \beta g$ vérifie aussi l'équation différentielle en utilisant la linéarité de la dérivation.
2 الإرشاد 2
Pour trouver une base de $H$, résous l'équation caractéristique $r^2 - 3r + 2 = 0$ en calculant son discriminant. Les racines $r_1$ et $r_2$ te donneront les fonctions $e^{r_1 x}$ et $e^{r_2 x}$ qui forment les candidats pour ta base.

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الطريقة — من أين نبدأ

Pour montrer que est un sous-espace vectoriel, vérifie d'abord que la fonction nulle appartient à , puis montre que si et sont dans , alors toute combinaison vérifie aussi l'équation différentielle en utilisant la linéarité de la dérivation.

Pour trouver une base de , résous l'équation caractéristique en calculant son discriminant. Les racines et te donneront les fonctions et qui forment les candidats pour ta base.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

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Deux familles libres : nombres complexes et exponentielles كل تمارين الدرس Corps de matrices isomorphe à ℂ et équation JX³=−I