نرمز بـ ( D 2 , + , ⋅ ) الفضاء الشعاعي للدوال القابلة للاشتقاق مرتين على ] 0 , + ∞ [ . نضع: E = { f ∈ D 2 : ∀ x > 0 , x f ′′ ( x ) − ( x + 1 ) f ′ ( x ) + f ( x ) = 0 } . بيّن أن ( E , + , ⋅ ) فضاء شعاعي حقيقي. نضع v ( x ) = x + 1 و u ( x ) = e x من أجل x ∈ ] 0 , + ∞ [ . بيّن أن ( u , v ) ∈ E 2 وأن ( u , v ) عائلة حرة. لتكن f ∈ E . بيّن أن f ′′′ ( x ) = f ′′ ( x ) من أجل كل x > 0 ، واستنتج أنه يوجد ( a , b , c ) ∈ R 3 بحيث f ( x ) = a e x + b x + c . استنتج أن ( u , v ) أساس للفضاء ( E , + , ⋅ ) .

Sous-espace de solutions sur ]0,+∞[ et base

Difficile

نرمز بـ $(D_{2}, +, \cdot)$ الفضاء الشعاعي للدوال القابلة للاشتقاق مرتين على $] 0, + \infty [$ . نضع:

$E = {f \in D_{2} : \forall x > 0, x f^{''} (x) - (x + 1) f^{'} (x) + f (x) = 0} .$

بيّن أن $(E, +, \cdot)$ فضاء شعاعي حقيقي.
نضع $v (x) = x + 1$ و $u (x) = e^{x}$ من أجل $x \in] 0, + \infty [$ . بيّن أن $(u, v) \in E^{2}$ وأن $(u, v)$ عائلة حرة.
لتكن $f \in E$ . بيّن أن $f^{'''} (x) = f^{''} (x)$ من أجل كل $x > 0$ ، واستنتج أنه يوجد $(a, b, c) \in R^{3}$ بحيث $f (x) = a e^{x} + b x + c$ .
استنتج أن $(u, v)$ أساس للفضاء $(E, +, \cdot)$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

لإثبات أن $E$ فضاء جزئي، تحقق أن التطبيق $L(f)=xf''-(x+1)f'+f$ خطي، ثم أن $E=\\{f : L(f)=0\\}$.

2 الإرشاد 2

لإثبات استقلالية $(u,v)$، افترض $\\alpha e^x+\\beta(x+1)=0$ لكل $x>0$ واشتق مرتين لعزل $\\alpha$ ثم $\\beta$.

3 الإرشاد 3

بالنسبة للسؤال 3، اشتق المعادلة التفاضلية التي تحققها $f$ للحصول على علاقة بين $f'''$ و $f''$، ثم حل هذه المعادلة الجديدة الأبسط.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

لإثبات أن $E$ فضاء جزئي، تحقق أن التطبيق $L (f) = x f^{''} - (x + 1) f^{'} + f$ خطي، ثم أن $E = f : L (f) = 0$ .

لإثبات استقلالية $(u, v)$ ، افترض $a l p ha e^{x} + b e t a (x + 1) = 0$ لكل $x > 0$ واشتق مرتين لعزل $a l p ha$ ثم $b e t a$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points