نرمز بـ ( D 2 ( R ) , + , ⋅ ) الفضاء الشعاعي للدوال القابلة للاشتقاق مرتين على R وليكن a ∈ R . نضع: E = { f ∈ D 2 ( R ) : f ′′ + 2 a f ′ + a 2 f = 0 } . بيّن أن ( E , + , ⋅ ) فضاء شعاعي. نضع f 1 ( x ) = e − a x و f 2 ( x ) = x e − a x . بيّن أن ( f 1 , f 2 ) ∈ E 2 وأن ( f 1 , f 2 ) عائلة حرة. ليكن f ∈ E و g ( x ) = e a x f ( x ) . بيّن أن g ′′ = 0 ، واستنتج أساساً لـ E . نضع g 1 = f 1 + 2 f 2 و g 2 = 2 f 1 + 2 f 2 . هل العائلة ( g 1 , g 2 ) أساس لـ ( E , + , ⋅ ) ؟

Équation différentielle à racine double et base de solutions

Difficile

نرمز بـ $(D_{2} (R), +, \cdot)$ الفضاء الشعاعي للدوال القابلة للاشتقاق مرتين على $R$ وليكن $a \in R$ . نضع:

$E = {f \in D_{2} (R) : f^{''} + 2 a f^{'} + a^{2} f = 0} .$

بيّن أن $(E, +, \cdot)$ فضاء شعاعي.
نضع $f_{1} (x) = e^{- a x}$ و $f_{2} (x) = x e^{- a x}$ . بيّن أن $(f_{1}, f_{2}) \in E^{2}$ وأن $(f_{1}, f_{2})$ عائلة حرة.
ليكن $f \in E$ و $g (x) = e^{a x} f (x)$ . بيّن أن $g^{''} = 0$ ، واستنتج أساساً لـ $E$ .
نضع $g_{1} = f_{1} + 2 f_{2}$ و $g_{2} = 2 f_{1} + 2 f_{2}$ . هل العائلة $(g_{1}, g_{2})$ أساس لـ $(E, +, \cdot)$ ؟

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

لإثبات أن E فضاء متجهي، تحقق من أن الدالة الصفرية تنتمي إلى E وأن E مستقر بالنسبة للتركيب الخطي.

2 الإرشاد 2

لإثبات استقلالية $(f_1,f_2)$، افترض $\\alpha_1 f_1 + \\alpha_2 f_2 = 0$ لكل x، اقسم على $e^{-ax}$ وحدد كثير حدود منعدم.

3 الإرشاد 3

بالنسبة للسؤال 3، اشتق $g(x) = e^{ax}f(x)$ مرتين واستعمل المعادلة التفاضلية التي تحققها f لتبيّن أن $g''=0$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

لإثبات أن E فضاء متجهي، تحقق من أن الدالة الصفرية تنتمي إلى E وأن E مستقر بالنسبة للتركيب الخطي.

لإثبات استقلالية $(f_{1}, f_{2})$ ، افترض $a l p h a_{1} f_{1} + a l p h a_{2} f_{2} = 0$ لكل x، اقسم على $e^{- a x}$ وحدد كثير حدود منعدم.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points