نضع: E = ⎩ ⎨ ⎧ M ( a , b , c ) = a 0 0 b a 0 c b a : ( a , b , c ) ∈ R 3 ⎭ ⎬ ⎫ , و I = M ( 1 , 0 , 0 ) ، J = M ( 0 , 1 , 0 ) ، K = M ( 0 , 0 , 1 ) . بيّن أن ( E , + , ⋅ ) فضاء متجهي حقيقي وأن B = ( I , J , K ) أساس له. ليكن A = − I + 2 J ، B = I + 4 K و C = 2 I − J + 3 K . بيّن أن B ′ = ( A , B , C ) أساس للفضاء E ، ثم حدد إحداثيات M ( 2 , 1 , 7 ) في الأساس B ′ . نضع F = { M ( a , b , c ) : a + b = c } . بيّن أن F فضاء متجهي جزئي من ( E , + , ⋅ ) .

Espace vectoriel de matrices triangulaires et changement de base

Difficile

نضع:

$E = ⎩ ⎨ ⎧ M (a, b, c) = a 00 b a 0 c b a : (a, b, c) \in R^{3} ⎭ ⎬ ⎫,$

و $I = M (1, 0, 0)$ ، $J = M (0, 1, 0)$ ، $K = M (0, 0, 1)$ .

بيّن أن $(E, +, \cdot)$ فضاء متجهي حقيقي وأن $B = (I, J, K)$ أساس له.
ليكن $A = - I + 2 J$ ، $B = I + 4 K$ و $C = 2 I - J + 3 K$ . بيّن أن $B^{'} = (A, B, C)$ أساس للفضاء $E$ ، ثم حدد إحداثيات $M (2, 1, 7)$ في الأساس $B^{'}$ .
نضع $F = {M (a, b, c) : a + b = c}$ . بيّن أن $F$ فضاء متجهي جزئي من $(E, +, \cdot)$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

لإثبات أن $E$ فضاء متجهي، تحقق أن كل تركيبة خطية $\\alpha M(a,b,c)+\\beta M(x,y,z)$ تبقى في $E$، ثم أن $(I,J,K)$ مولدة وحرة.

2 الإرشاد 2

بخصوص الأساس $\\mathcal{B}'$، عبّر عن $A$، $B$، $C$ في الأساس $(I,J,K)$ واحسب محدد إحداثياتها: إذا كان غير منعدم، فهو أساس.

3 الإرشاد 3

لإيجاد إحداثيات $M(2,1,7)$ في $\\mathcal{B}'$، حاول التعبير عن $M(2,1,7)$ كتركيبة بسيطة من $A+B+C$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

لإثبات أن $E$ فضاء متجهي، تحقق أن كل تركيبة خطية $a l p ha M (a, b, c) + b e t a M (x, y, z)$ تبقى في $E$ ، ثم أن $(I, J, K)$ مولدة وحرة.

بخصوص الأساس $ma t h c a l B^{'}$ ، عبّر عن $A$ ، $B$ ، $C$ في الأساس $(I, J, K)$ واحسب محدد إحداثياتها: إذا كان غير منعدم، فهو أساس.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points