التمرين 5 – الاستدلال بالتراجع، الحصر والسلوك التقاربي نعرف المتتالية ( p n ) بـ: p 0 = 0 ، p 1 = 1 ، ومن أجل كل n ≥ 1 : p n + 1 = p n + 2 p n − 1 . احسب p 2 ، p 3 ، p 4 و p 5 . المعادلة المميزة. a) نبحث عن الحلول على الشكل p n = r n . بين أن r يجب أن يحقق r 2 = r + 2 . حل هذه المعادلة. b) استنتج التعبير العام لـ p n على الشكل p n = A × 2 n + B × ( − 1 ) n ، ثم حدد الثوابت A و B باستعمال p 0 و p 1 . خاصية القابلية للقسمة. برهن بالتراجع أنه من أجل كل n ∈ N ، p n عدد صحيح. الحصر. a) بين بالتراجع أنه من أجل كل n ≥ 1 : 2 n − 1 ≤ p n ≤ 2 n . b) استنتج نهاية p n p n + 1 عندما n → + ∞ . تطبيق. باستعمال الصيغة الصريحة، احسب p 10 .

برهان بالترجع القوي والتأطير

Difficile Inspiré BAC Côte d'Ivoire

Exercice inspiré d'un BAC Côte d'Ivoire

Source-style : BAC Côte d'Ivoire Série C 2023

Inspiré du style BAC Côte d'Ivoire Série C 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

التمرين 5 – الاستدلال بالتراجع، الحصر والسلوك التقاربي

نعرف المتتالية $(p_{n})$ بـ: $p_{0} = 0$ ، $p_{1} = 1$ ، ومن أجل كل $n \geq 1$ : $p_{n + 1} = p_{n} + 2 p_{n - 1}$ .

احسب $p_{2}$ ، $p_{3}$ ، $p_{4}$ و $p_{5}$ .
المعادلة المميزة.
a) نبحث عن الحلول على الشكل $p_{n} = r^{n}$ . بين أن $r$ يجب أن يحقق $r^{2} = r + 2$ . حل هذه المعادلة.
b) استنتج التعبير العام لـ $p_{n}$ على الشكل $p_{n} = A \times 2^{n} + B \times (- 1)^{n}$ ، ثم حدد الثوابت $A$ و $B$ باستعمال $p_{0}$ و $p_{1}$ .
خاصية القابلية للقسمة. برهن بالتراجع أنه من أجل كل $n \in N$ ، $p_{n}$ عدد صحيح.
الحصر.
a) بين بالتراجع أنه من أجل كل $n \geq 1$ : $2^{n - 1} \leq p_{n} \leq 2^{n}$ .
b) استنتج نهاية $\frac{p _{n + 1}}{p _{n}}$ عندما $n \to + \infty$ .
تطبيق. باستعمال الصيغة الصريحة، احسب $p_{10}$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

بالنسبة للمعادلة المميزة، ابحث عن حلول من الشكل $p_n=r^n$ واقسم على $r^{n-1}$.

2 الإرشاد 2

تحصل على $r^2=r+2$ جذراها $2$ و $-1$، ومنه $p_n=A\\cdot 2^n+B\\cdot(-1)^n$ ؛ عيّن $A$ و $B$ بواسطة $p_0$ و $p_1$.

3 الإرشاد 3

بالنسبة للتأطير، أطّر $(-1)^n$ بين $-1$ و $1$ في الصيغة الصريحة، ثم اجعل $n$ يؤول إلى ما لا نهاية للنسبة $\\dfrac{p_{n+1}}{p_n}$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

بالنسبة للمعادلة المميزة، ابحث عن حلول من الشكل $p_{n} = r^{n}$ واقسم على $r^{n - 1}$ .

تحصل على $r^{2} = r + 2$ جذراها $2$ و $- 1$ ، ومنه $p_{n} = A c d o t 2^{n} + B c d o t (- 1)^{n}$ ؛ عيّن $A$ و $B$ بواسطة $p_{0}$ و $p_{1}$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points