Suites arithmétique et géométrique imbriquées – Étude complète

Soit la suite ($u_n$) définie pour tout $n\in \mathbb{N}$ par : $u_n=(2n+1)\times 3^n$.

Partie I – Étude de la suite ($u_n$)

1. Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_2$.
2. Étudier la monotonie de la suite ($u_n$) pour $n\ge 0$.
3. Déterminer la limite de $u_n$ quand $n\to +\infty$.

Partie II – Somme partielle

On pose $S_n=u_0+u_1+\cdots +u_n=\sum _{k=0}^n(2k+1)\times 3^k$.

4. Montrer que $S_n$ peut s'écrire : $S_n=2\times \sum _{k=0}^{n}k\times 3^k+\sum _{k=0}^n{3}^k$.
5. On admet que $\sum _{k=0}^n{3}^k=\frac{3^{n+1}-1}{2}$. Calculer cette somme pour $n=4$.
6. On admet également que $\sum _{k=0}^{n}k\times 3^k=\frac{(2n-1)\times 3^{n+1}+3}{4}$. Exprimer $S_n$ en fonction de $n$, puis calculer $S_4$.

Partie III – Application

Un investisseur place, en début de chaque année, une somme $u_n$ dirhams (avec $n=0$ pour la 1ère année, $n=1$ pour la 2ème, etc.) dans un fonds. Calculer le montant total investi sur les 5 premières années (de $n=0$ à $n=4$).