Démonstration par récurrence et étude de monotonie

Exercice 3 – Récurrence, monotonie et convergence

On considère la suite $(w_n)$ définie par : $w_0=3$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $w_{n+1}=\frac{w_n+8}{w_n+2}$.

1. Calcul des premiers termes. Calculer $w_1$ et $w_2$. (Laisser les résultats sous forme de fractions si nécessaire.)
2. Invariance d'un intervalle.
   a) Montrer que, pour tout réel $x\in [1;3]$, on a $\frac{x+8}{x+2}\in [1;3]$.
   b) En déduire par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $w_n\in [1;3]$.
3. Monotonie.
   a) Étudier le signe de $w_{n+1}-w_n$ en fonction de $w_n$.
   b) En déduire que $(w_n)$ est monotone. Préciser le sens.
4. Convergence.
   a) Justifier que $(w_n)$ converge vers une limite $\ell \in [1;3]$.
   b) Déterminer $\ell$.