المتتاليات الحسابية والهندسية المتداخلة – دراسة شاملة

لتكن المتتالية ($u_n$) معرفة لكل $n\in \mathbb{N}$ بـ: $u_n=(2n+1)\times 3^n$.

الجزء الأول – دراسة المتتالية ($u_n$)

1. احسب $u_0$ و $u_1$ و $u_2$.
2. ادرس رتابة المتتالية ($u_n$) من أجل $n\ge 0$.
3. حدد نهاية $u_n$ عندما $n\to +\infty$.

الجزء الثاني – المجموع الجزئي

نضع $S_n=u_0+u_1+\cdots +u_n=\sum _{k=0}^n(2k+1)\times 3^k$.

4. بين أن $S_n$ يمكن كتابته: $S_n=2\times \sum _{k=0}^{n}k\times 3^k+\sum _{k=0}^n{3}^k$.
5. نسلم بأن $\sum _{k=0}^n{3}^k=\frac{3^{n+1}-1}{2}$. احسب هذا المجموع من أجل $n=4$.
6. نسلم أيضا بأن $\sum _{k=0}^{n}k\times 3^k=\frac{(2n-1)\times 3^{n+1}+3}{4}$. عبر عن $S_n$ بدلالة $n$، ثم احسب $S_4$.

الجزء الثالث – تطبيق

يستثمر مستثمر، في بداية كل سنة، مبلغا قدره $u_n$ درهم (مع $n=0$ للسنة الأولى، $n=1$ للسنة الثانية، إلخ.) في صندوق. احسب المبلغ الإجمالي المستثمر خلال السنوات الخمس الأولى (من $n=0$ إلى $n=4$).