متتالية معرفة بعلاقة تراجعية دراسة شاملة

التمرين 4

نعتبر المتتالية $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ المعرفة بما يلي: $v_0=3$ و $v_{n+1}=\frac{1}{2}{v}_n+4$ لكل $n\in \mathbb{N}$.

1. احسب $v_1$ و $v_2$ و $v_3$.
2. نضع $w_n=v_n-8$ لكل $n\in \mathbb{N}$.
   (أ) بين أن $(w_n)$ متتالية هندسية محددا أساسها وحدها الأول.
   (ب) عبر عن $w_n$ بدلالة $n$، ثم استنتج $v_n$ بدلالة $n$.
3. ادرس رتابة المتتالية $(v_n)$.
4. احسب $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n$. فسر النتيجة هندسيا.
5. حدد أصغر عدد صحيح طبيعي $n$ بحيث تكون المسافة بين $v_n$ ونهايتها أصغر من $10^{-2}$.