Suite récurrente, point fixe et convergence (difficile)

On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_0=0$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_{n+1}=\frac{2u_n+3}{u_n+4}$. Calculer $u_1$, $u_2$ et conjecturer la limite éventuelle de la suite. On pose, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $w_n=u_n-1$. Montrer que $w_{n+1}=\frac{1}{u_n+4}{w}_n$. On admet que $0\le u_n\le 1$ pour tout $n$. En déduire que $|w_{n+1}|\le \frac{1}{4}|w_n|$, puis que $|w_n|\le {\left(\frac{1}{4}\right)}^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. Démontrer par récurrence que $0\le u_n\le 1$ pour tout $n$. En déduire la limite de $(u_n)$.