Suite définie par récurrence — étude complète — Niveau intermédiaire

Exercice 4

On considère la suite $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par : $v_0=3$ et $v_{n+1}=\frac{1}{2}{v}_n+4$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

1. Calculer $v_1$, $v_2$ et $v_3$.
2. On pose $w_n=v_n-8$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
   (a) Montrer que $(w_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
   (b) Exprimer $w_n$ en fonction de $n$, puis en déduire $v_n$ en fonction de $n$.
3. Étudier le sens de variation de $(v_n)$.
4. Calculer $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n$. Interpréter graphiquement.
5. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $v_n$ soit à une distance inférieure à $10^{-2}$ de sa limite.