Suite, somme télescopique et comportement asymptotique

Pour tout entier n $\in$ $\mathbb{N}$*, on définit :

$u_n=\frac{1}{n(n+1)}$

1. Vérifier que pour tout n $\in$ $\mathbb{N}$* : $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ (décomposition en éléments simples).
2. En déduire la valeur exacte de la somme $S_n=u_1+u_2+\cdots +u_n$.
3. Calculer la limite de $S_n$ quand $n\to +\infty$. Interpréter.
4. On pose maintenant $v_n=n\times u_n=\frac{n}{n(n+1)}=\frac{1}{n+1}$ pour $n\ge 1$, et on considère la suite $(T_n)$ définie par :
   $T_n=v_1+v_2+\cdots +v_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n+1}$.
   a) Montrer que pour tout $n\ge 1$ : $\ln (n+1)\le T_n\le \ln (n+1)+\frac{1}{2}$.
   (On admettra que pour tout $k\ge 1$ : $\ln (k+1)-\ln (k)\le \frac{1}{k}\le \ln (k)-\ln (k-1)$ pour $k\ge 2$.)
   b) Déterminer la limite de $T_n$ quand $n\to +\infty$.