Démonstration par récurrence et encadrement d'une suite — Bac France 2024

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_{n+1}=u_n^2-u_n+1$. Calculer $u_1$ et $u_2$. Démontrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $0\le u_n\le 1$. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_{n+1}-u_n=u_n(u_n-2)+1$. En étudiant le signe de $u_{n+1}-u_n$ sur $[0;1]$, déduire des questions 2 et 3 la monotonie de la suite $(u_n)$. La suite $(u_n)$ étant monotone et bornée, que peut-on conclure ? Déterminer la (ou les) limite(s) possible(s) en résolvant l'équation $L=L^2-L+1$.