متتالية هندسية، ترجع ونهاية

تمرين — المتتاليات العددية (المستوى: متوسط)

نعتبر المتتالية ($u_n$) المعرفة بما يلي: $u_0=4$ ولكل $n\in \mathbb{N}$، $u_{n+1}=\frac{1}{3}\times u_n+2$.

1. المتتالية المساعدة:
   نضع $v_n=u_n-l$، حيث $l$ عدد حقيقي يجب تحديده، بحيث تكون ($v_n$) متتالية هندسية.
   أ) حدد قيمة $l$ بحل المعادلة $l=\frac{1}{3}\times l+2$.
   ب) بين أن المتتالية ($v_n$) هندسية وحدد أساسها $q$ وحدها الأول $v_0$.
2. تعبير $u_n$:
   أ) عبر عن $v_n$ بدلالة $n$.
   ب) استنتج تعبير $u_n$ بدلالة $n$.
3. الرتابة والنهاية:
   أ) بين بالترجع أنه لكل $n\in \mathbb{N}$، $u_n\ge 3$.
   ب) ادرس رتابة المتتالية ($u_n$) بحساب $u_{n+1}-u_n$ وباستعمال النتيجة السابقة.
   ج) استنتج أن المتتالية ($u_n$) متقاربة واحسب نهايتها.