متتالية محدودة، برهان بالترجع القوي والتقارب

التمرين 6

نعتبر المتتالية $(t_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ المعرفة بما يلي: $t_0=3$ و $t_{n+1}=\frac{t_n+6}{t_n+2}$ لكل $n\in \mathbb{N}$.

1. احسب $t_1$ و $t_2$ و $t_3$. ضع تخميناً حول تأطير $t_n$.
2. برهن بالترجع أن $1\le t_n\le 3$ لكل $n\in \mathbb{N}$.
3. أ. بين أن $t_{n+1}-\sqrt{6}=(t_n-\sqrt{6})\times \frac{1}{t_n+2}$.
   ب. استنتج أن $|t_{n+1}-\sqrt{6}|\le \frac{1}{3}\times |t_n-\sqrt{6}|$.
   ج. بين بالترجع أن $|t_n-\sqrt{6}|\le {\left(\frac{1}{3}\right)}^n\times |t_0-\sqrt{6}|$.
4. استنتج أن المتتالية $(t_n)$ متقاربة واحسب نهايتها.
5. نعتبر المتتالية $(s_n)$ المعرفة بـ $s_n=t_{n+1}-t_n$. ادرس إشارة $s_n$ حسب موقع $t_n$ بالنسبة لـ $\sqrt{6}$، ثم استنتج أن المتتاليتين الجزئيتين $(t_{2n})$ و $(t_{2n+1})$ رتيبتان على التوالي (دون تحديد اتجاه رتابتهما بالضرورة — برر باختصار).