الترجع، التأطير والتقارب

التمرين 6

نعتبر المتتالية ($u_n$)${}_{n\in \mathbb{N}}$ المعرفة بما يلي: $u_0=0$ و $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$ لكل $n\in \mathbb{N}$.

في هذا التمرين، يمكن استعمال حقيقة أن الدالة الجذر التربيعي تزايدية على $[0;+\infty [$ بحرية.

1. احسب $u_1$ و $u_2$ و $u_3$ (القيم المضبوطة). ضع تخميناً حول تقارب ($u_n$).
2. برهن بالترجع أنه لكل $n\in \mathbb{N}$ : $0\le u_n\le 2$.
3. بين أنه لكل $n\in \mathbb{N}$ : $u_{n+1}-u_n\ge 0$. استنتج أن ($u_n$) تزايدية.
   إشارة : يمكن دراسة إشارة $u_{n+1}^2-u_n^2$.
4. استنتج أن ($u_n$) متقاربة. بافتراض أن $\ell$ هي نهايتها، بين أن $\ell$ تحقق ${\ell }^2-\ell -2=0$ واستنتج قيمة $\ell$.
5. نضع، لكل $n\in \mathbb{N}$ : $w_n=2-u_n$.
   أ) بين أن $w_{n+1}\le \frac{1}{4}\times w_n$.
   ب) استنتج أن $0\le 2-u_n\le 2\times {\left(\frac{1}{4}\right)}^n$ لكل $n\in \mathbb{N}$، وفسر هذه النتيجة.