Récurrence et monotonie d'une suite — niveau intermédiaire

Exercice 3

On considère la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par : $u_0=1$ et $u_{n+1}=\frac{u_n+3}{2}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
2. Montrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_n<3$.
3. Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
4. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente. On admettra que sa limite $\ell$ vérifie $\ell =\frac{\ell +3}{2}$, et on calculera $\ell$.